Karantæners betydning for spredning af coronavirus

Mens coronavirussen breder sig med hastige skridt i Kina forsøger alle lande at mobilisere et beredskab, der skal stå klar til at begrænse smitten. Et af de tiltag, der anvendes er at sætte smittede eller personer, der muligvis er smittede, i karantæne. Her regner vi på, hvordan sygdommen kan udvikle sig i Danmark fra en enkelt smittebærer, og hvor hurtigt man skal sætte patienter i karantæne for at det er effektivt.

For omkring et år siden var der er enormt udbrud af mæslinger i Samoa, hvor over 2% af befolkningen blev inficerede, og hvor næsten 1.5% af de inficerede døde. Dengang brugte vi en SIR-model, til at beskrive, hvor stor en andel af en population, der skulle være vaccinerede for at undgå en epidemi.

Her ser vi på en variant af SIR-modellen, der udvider den klassiske SIR-model på to punkter, der er relevante for problemstillingen for coronavirus: for det første kan man have en inkubationsperiode, hvor man kan smitte andre, men ikke selv har nogle symptomer, og for det andet kan myndighederne beslutte sig for at sætte smittede og/eller eksponerede i karantæne.1 SIR-modellen og dens udvidelse er en deterministisk model, der bedst egner sig til at beskrive de overordnede trends i en stor population. Eftersom vi vil beskrive udbrud for hele Danmark, så virker det rimeligt at opfatte dette som en stor population. SIR-modellen er beskrevet i detaljer i det tidligere indlæg., og her bygger vi direkte videre på det tidligere indlæg. Det gamle indlæg kan altså med fordel læses igen.

Og lad mig lige understrege, at indlægget og resultaterne skal betragtes som “udregninger på bagsiden af en konvolut”. Hverken mere eller mindre.

Hvad ved vi om coronavirus lige nu?

Jeg kender kun til coronavirussen fra medierne, og de fleste antagelser, som jeg bruger i det efterfølgende er fra BBCs fantastiske podcast “More or Less”, der ikke kan anbefales nok.2 Jeg kender ikke historien bag DRs Detektor, men mit bud er, at “More or Less” er en af de primære inspirationskilder.

Coronavirus’ basic reproductive number, \(R0\) anslås til at være omkring 2.5.3 En kort forklaring til \(R0\) fra filmen Contagion kan ses her. Sygdommen minder om almindelig influenza, har en inkubationstid på 2-14 dage, hvor man ikke har nogle symptomer, men stadig kan smitte, og efter symptomerne er indtruffet har man en yderligere smitteperiode på ca. 14 dage. På nuværende tidspunkt anslås det, at ca. 2-3% af de inficerede døde, der er ingen vaccine, og det vides ikke, hvor stor en andel af befolkningen, der naturligt er immune, eller hvor stor en andel, der selv slår virussen ned inden de får symptomer. Alle disse tal er utrolig upræcise på dette tidlige stadie af udviklingen af sygdommen, og vi ved ikke engang, hvor præcis indrapporteringen af sygdomstilfælde har været. Med andre ord er der en masse ukendte parametre i spil.

[Opdatering (14. feb. 2020):] Det er pt. uklart, hvorvidt coronavirus rent faktisk smitter i inkubationsperioden. Jeg har opdateret app’en, så man også kan sætte, hvor mange procent af dagene i inkubationsperioden, hvor man kan smitte. Sættes den til 100% så kan man smitte alle dage i inkubationsperioden, og sættes den til 0% så smitter man ingen dage i inkubationsperioden. Det bør desuden understreges, at det lige nu stadig er uklart, om antistofferne sikrer, at man er immun i al fremtid, eller om deres effekt forsvinder over tid. I modellen nedenfor antages det, at man er immun for tid og evighed når man først har haft virussen. Det skal man have i baghovedet, når man ser på resultaterne lang tid ud i fremtiden.

SEIQR-modellen

SEIQR-modellen udvider SIR-modellen, så hver person befinder i en af 6 kasser: modtagelige (S), eksponerede (E), inficerede (I), karantæne (Q), tidligere sygdomsramte (R) og immune (V). Gruppen E repræsenterer de personer, der har sygdommen, men endnu ikke har nogle symptomer, og stadig kan smitte andre. I er personer med sygdomstegn, og V repræsenterer andelen af personer i populationen, der er naturligt immune. Man kan gå fra at være modtagelig (rask og har aldrig tidligere være udsat for sygdommen) til eksponeret (har sygdommen og kan smitte) til inficeret (har sygdommen i udbrud og kan smitte) til tidligere sygdomsramt (har haft sygdommen, men den er ikke længere i udbrud). Desuden er det muligt for myndighederne at sende inficerede og/eller eksponerede i karantæne. Det antages desuden, at når man først har haft sygdommen en gang, så kan man ikke få den igen. Dette er skitseret i figuren nedenfor.

Gruppen af naturligt immune er med til at reducere den reelle smitte, da en inficeret, der kommer i kontakt med en immun ikke kan overføre sygdommen. Det reducerer det reelle antal modtagelige i populationen.

Figur 1: Skitse af SEIQR-modellen med en ekstra gruppe immune. I forbindelse med et sygdomsudbrud kan befolkningen flytte sig langs fra modtagelige til inficerede og fra inficerede til sygdomsramte, men ikke den anden vej.

Modellen er implementeret i en online app, så man selv kan skrue på antagelserne, og se, hvad det betyder for resultaterne.

  1. Først sættes basic reproductive number, \(R0\), for den sygdom, der skal simuleres. Basic reproductive number er det gennemsnitlige antal personer, som en inficeret person forventes at smitte over hele infektionsperioden, hvis alle andre personer i populationen er modtagelige for sygdommen. For coronavirus vurderes det at være ca 2.5.
  2. Dernæst vælges, hvor mange inficerede, der er ved sygdomsudbruddet. Udgangspunktet er 1.
  3. Så vælges karakteristika for virussen: inkubations- og sygdomsperioden (begge dele i dage). Inkubationsperioden angiver, hvor længe der i gennemsnit går fra man er smittet til man har symptomer. For coronavirus vurderes det at være et sted mellem 2 og 14 dage. Man kan stadig smitte andre i denne periode. Så vælges sygdomsperioden, det vil sige antallet af dage fra man har symptomer til at kroppen har bekæmpet sygdommen. I denne periode kan man også smitte andre, og for coronavirus er denne periode ca. 7 dage.
  4. Endelig vælges karantænetid for bærere og inficerede. Hvis værdien sættes til 0 bliver ingen personer sat i karantæne. Hvis den sættes til 1 betyder det, at personer i gennemsnit kommer i karantæne en dage efter de blev bærere eller inficerede. Større tal svarer til længere gennemsnitlig tid inden karantæne (se desuden nedenfor). Man kan sætte individuelle karantæneresponstider for de inficerede (hvor sygdommen er let at se) og bærerne (hvor sygdommen er sværere at se).
  5. Man kan desuden ændre på tidsperioden (længen på x-aksen), så det svarer til den periode, man ønsker at betragte.

Værdierne indsættes i app’en nedenfor. (Hvis du ikke kan se app’en så sæt din browser op, så den ikke blokerer apps fra shiny.sund.ku.dk. Alternativt kan du køre app’en direkte via dette link).

Resultatet af modellen og antagelserne er vist i grafen og i de 3 bokse. Grafen viser forløbet af de 6 grupper over tid, og det interessante er, hvor mange sygdomsramte, der vil være (den sorte linje). De tre bokse nederst viser, hvor stor en andel af hele populationen, der bliver ramt af sygdommen indenfor den valgte tidsperiode på baggrund af udbruddet, hvor stor en andel af de inficerede personer, der bliver sat i karantæne, og hvor stor en andel af bærerne, der kommer karantæne. Hvis man ændrer på karantænetiderne vil man se, at der er en kraftig effekt af at sætte personer i karantæne, og at denne effekt er meget kraftigere, når det sker for bærerne end for de inficerede. Det er ikke så overraskende, da sygdommen smitter i hele perioden (både for bærere og for de inficerede).

Med standardindstillingerne beskrevet ovenfor og uden karantæne vil 89% af befolkningen ende med at have haft virussen efter ca. et år. Hvis man i gennemsnit sætter de inficerede i karantæne dagen efter de har vist første sygdomstegn, så falder denne andel til 71%. Hvis man i stedet holder øje med bærere (eller i praksis måske snarere med personer, man mistænker kunne være bærere), og i gennemsnit sætter dem i karantæne efter 10 dage, så vil under 1% af befolkningen have haft virussen efter godt 3 år. Sundhedsstyrelsens håndtering og manen til besindighed lader derfor til at være helt velbegrundet, og specielt hvis man samtidig er ekstra opmærksom på de personer, der er potentielle bærere, og først gribe ind overfor dem, hvis man bekræfter, at de har virussen.4 Det skal understreges, at modellen beskriver trends i hele populationen. For enkeltindivider kan det at have coronavirus naturligvis være kritisk.

SEIQRV-modellen i detaljer

Den anvendte variant af SIR-modellen består af 6 stadier S, E, I, Q, R og V. Individer kan bevæge sig fra modtagelige (S) til bærere (E) til inficerede (I) til sygdomsramte (R), hvor den sidste kategori dækker over personer, der har haft sygdommen i forbindelse med udbruddet, og som ikke kan bliver inficerede igen. Desuden kan nogle individer blive sat i karantæne, hvilket betyder, at de ikke længere har mulighed for at smitte andre.

Overgangsraten fra modtagelige til inficerede, \(\beta\), afhænger af \(R0\) og hele infektionsperioden, så hver bærer/inficerede person i gennemsnit smitter netop \(R0\) personer henover over infektionsperioden, dvs. \(\beta = R0/\text{infektionsperioden}\)5 Underforstået, at hvis dele af populationen allerede er i karantæne eller tidligere smittede, så vil det faktiske antal, som en person smitter være lavere.. Overgangsraten \(\alpha\) er 1/inkubationstiden, \(\gamma\) er 1/sygdomstiden, og \(1/\delta_1\) og \(1/\delta_2\) angiver, hvor mange dage man i gennemsnit skal vente på at komme i karantæne for henholdsvis de inficerede og bærerne. Alle disse antagelser kan sammenfattes til

  1. Der er konstant samme populationsstørrelse \(N\), da der ikke er nogen individer, der kan forsvinde ud af systemet eller komme ind i det.
  2. Der antages konstante overgangsrater \(\beta, \alpha, \delta_1, \delta_2\) og \(\gamma\), som ikke ændrer sig over den undersøgte periode.
  3. Der optræder ingen vaccinationer undervejs under sygdomsudbruddet.
  4. Desuden antages det, at populationen er fuldstændig blandet, det vil sige, at alle individer i princippet har mulighed for at komme i kontakt med alle, og dermed blive smittet eller smitte alle andre.

Ved udbruddets start vil der endnu ikke være nogle nye individer, der har haft sygdommen i denne omgang, og der er ingen i karantæne så \(Q(0) = R(0) = I(0) = 0\) og

\[S(0) + E(0) + I(0) + Q(0) + R(0) + V(0) = N.\]

og på grund af antagelsen om konstant population vil der desuden gælde, at

\[S(t) + E(t) + I(t) + Q(t) + R(t) + V(t) = N\]

for alle tidspunkter \(t\). For hver tidsperiode (hver dag) vil hver bærer/inficerede person smitte \(\beta\) personer, men den reelle andel er mindre, da nogle af de personer, som en inficeret kommer i kontakt med, allerede kan være inficerede eller kan være immune, fx. fordi de allerede har været sygdomsramte. Vi kan derfor opstille følgende koblede differentialligningssystem, hvor vi har divideret igennem med \(N\) for at beskrive andelen af personer i hver kategori i stedet for antallet.

\[\begin{array}{l} \frac{dS}{dt} = -\beta S(t) (I(t) + E(t)) \\ \frac{dE}{dt} = \beta S(t) (I(t) + E(t)) - (\alpha + \delta_2) E(t)\\ \frac{dI}{dt} = \alpha E(t) - (\gamma + \delta_1) I(t)\\ \frac{dQ}{dt} = \delta_1 I(t) + \delta_2 E(t) - \gamma Q(t) \\ \frac{dR}{dt} = \gamma (I(t) + Q(t)) \\ \frac{dV}{dt} = 0 \end{array}\]

Hvis du selv vil rode med koden til app’en kan den findes som filen app3.Rgithub.

comments powered by Disqus